Question

1．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）（a＞1），若g（x）=-f（-x）．
（1）寫(xiě)出g（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，總有f（x）+g（x）-m≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由代入法，即可得到g（x）的解析式；
（2）f（x）+g（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）=log_a$\frac{1+x}{1-x}$，當(dāng)a＞1，x∈[0，1）時(shí)，總有f（x）+g（x）≥m恒成立?m≤（log_a$\frac{1+x}{1-x}$）_min，x∈[0，1），再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）g（x）=-f（-x）=-log_a（1-x）（a＞1）；
（2）f（x）+g（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）=log_a$\frac{1+x}{1-x}$，
當(dāng)a＞1，x∈[0，1）時(shí)，總有f（x）+g（x）≥m恒成立
?m≤（log_a$\frac{1+x}{1-x}$）_min，x∈[0，1）．
令h（x）=$\frac{1+x}{1-x}$=-1-$\frac{2}{x-1}$，x∈[0，1）．
h′（x）=$\frac{2}{（x-1）^{2}}$＞0，
即有函數(shù)h（x）在x∈[0，1）單調(diào)遞增，
則當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得最小值1．
即有m≤log_a1=0．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、不等式的解法，考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．