Question

已知.

（1）求的極值，并證明：若有；

（2）設(shè)，且，，證明：，

若，由上述結(jié)論猜想一個(gè)一般性結(jié)論（不需要證明）；

（3）證明：若，則.

 

Answer 1

【答案】

(1)詳見解析；(2) 詳見解析；(3) 詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)利用求導(dǎo)探求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定其極值；借助結(jié)論時(shí)恒成立，證明；（2）借助第一問的結(jié)論，通過拼湊技巧進(jìn)行構(gòu)造要證明的不等式；（3）借助第二問的猜想結(jié)論，進(jìn)行構(gòu)造，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算進(jìn)行化簡整理即可得到證明的結(jié)論.

試題解析：（1）則

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，x∈（1，＋∞）時(shí)，

∴在（0，1）遞增，在（1，＋∞）遞減，

                                               2分

∴當(dāng)時(shí)恒成立，即時(shí)恒成立。

∴          4分

證明：，

（2）證明：設(shè)，且，令，則，且

，，

由（1）可知    ①

               ②

①+②，得

∴       8分

猜想：若，且時(shí)有

        9分

（3）證明：令

由猜想結(jié)論得

=

∴，

即有。                    14分

考點(diǎn)：(1)函數(shù)的極值；（2）不等式的證明.