Question

根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，某工廠的日產(chǎn)量不超過20萬件，每日次品率P與日產(chǎn)量x（萬件）之間近似地滿足關(guān)系式p=

x2+60 540 (0＜x＜≤12) 1 2 (12＜x≤20)

，已知每生產(chǎn)1件正品可盈利2元，而生產(chǎn)1件次品虧損1元，（該工廠的日利潤(rùn)y=日正品盈利額-日次品虧損額）．
（1）將該過程日利潤(rùn)y（萬元）表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；
（2）當(dāng)該工廠日產(chǎn)量為多少萬件時(shí)日利潤(rùn)最大？最大日利潤(rùn)是多少元？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題（1）根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系構(gòu)造日利潤(rùn)y（萬元）表示為日產(chǎn)量x（萬件）的分段函數(shù)，得到本題結(jié)論；（2）利用導(dǎo)函數(shù)得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而研究函數(shù)的最值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意知：
當(dāng)0＜x≤12時(shí)，
y=2x（1-p）-px，
∴y=2x(1-

x2+60

540

)-

x3+60x

540

=

5

3

x-

x3

180

，
當(dāng)12＜x≤20時(shí)，
y=2x（1-p）-px，
=2x（1-

1

2

）-

1

2

x=

1

2

x．
∴y=

5x 3 - x3 180 ，0＜x≤12 1 2 x，12＜x≤20

．
（2）①當(dāng)0＜x≤12時(shí)，
y′=

5

3

x-

x2

60

=

100-x2

60

=

-(x+10)(x-10)

60

，
當(dāng)0＜x＜10時(shí)，y′＞0，
當(dāng)10＜x≤12時(shí)，y′＜0．
當(dāng)x=10時(shí)，y′=0，
∴當(dāng)x=10時(shí)，y取極大值

100

9

．
②當(dāng)12＜x≤20時(shí)，
y=

1

2

x≤10，
∴當(dāng)x=20時(shí)，y取最大值10．
∵

100

9

＞10，
∴由①②知：當(dāng)x=10時(shí)，y取最大值

100

9

．
∴該工廠日產(chǎn)量為10萬件時(shí)，該最大日利潤(rùn)是

100

9

萬元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模，還考查了用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題難度適中，屬于中檔題．