【題目】如圖，已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C在該拋物線上，其中A，C關(guān)于x軸對(duì)稱（A在第一象限），且直線BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．

（1）若△ABC的重心為G（ ），求直線AB的方程；
（2）設(shè)S△ABO=S1 ， S△CFO=S2 ， 其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求S12+S22的最小值．

【答案】
（1）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），

則△ABC的重心坐標(biāo)為G（ ， ），

由題意可得2x1+x2= ，且y2=4，

由y22=4x2，y12=4x1，

可得x2=4，y2=4，和x1= ，y1=1，

直線AB的斜率k= = ，

即有直線AB的方程為4x﹣5y+4=0；


（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），

設(shè)直線BC：x=my+1，代入拋物線方程y2=4x，可得

y2﹣4my﹣4=0，可得﹣y1y2=﹣4，即y1y2=4，

再設(shè)直線AB：y=kx+n，代入拋物線方程，可得

ky2﹣4y+4n=0，y1y2= =4，即n=k，

則有直線AB：y=k（x+1），即有直線AB恒過(guò)定點(diǎn)E（﹣1，0），

則S△ABO= |OE||y2﹣y1|= |y2﹣y1|，

S△CFO= |OF||y1|= |y1|，

即有S12+S22= （y2﹣y1）2+ y12= = （2y12+ ﹣8）

≥ （2 ﹣8）=2 ﹣2．

即有S12+S22的最小值為2 ﹣2，當(dāng)且僅當(dāng)y1= ，y2=


【解析】（1）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x1 ， ﹣y1），運(yùn)用三角形的重心坐標(biāo)公式和拋物線方程，即可求得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線方程；（2）通過(guò)直線BC，AB的方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得恒過(guò)定點(diǎn)（﹣1，0），即有S△ABO= |OE||y2﹣y1|= |y2﹣y1|，S△CFO= |OF||y1|= |y1|，y1y2=4，再由基本不等式計(jì)算即可得到最小值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】；給定函數(shù)① ，② ，③y=|x﹣1|，④y=2x+1 ， 其中在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減的函數(shù)序號(hào)是（ ）
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④

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【題目】一直線l過(guò)直線l1：3x﹣y=3和直線l2：x﹣2y=2的交點(diǎn)P，且與直線l3：x﹣y+1=0垂直．
（1）求直線l的方程；
（2）若直線l與圓心在x正半軸上的半徑為 的圓C相切，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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【題目】設(shè)橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 離心率為e，過(guò)F2的直線與橢圓的交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB是以A為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則e2=（ ）
A.3﹣2
B.5﹣3
C.9﹣6
D.6﹣4

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【題目】已知一四棱錐P﹣ABCD的三視圖如圖所示，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求四棱錐P﹣ABCD的體積．
（Ⅱ）若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，AC∩BD=O，求證：EO∥平面PAD；
（Ⅲ）是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．

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【題目】設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期2π的偶函數(shù)，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0＜f（x）＜1；當(dāng)x∈（0，π），且x≠ 時(shí)，（x﹣ ）f′（x）＞0，則函數(shù)y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A.2
B.4
C.5
D.8

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【題目】已知函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，設(shè)f（x）= ．
（1）求a，b的值；
（2）不等式f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）方程f（|2x﹣1|）+k（ ﹣3）有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+2bx+c，且f（1）=f（3）=﹣1．設(shè)a＞0，將函數(shù)f（x）的圖象先向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移a2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象． （Ⅰ）若函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1 ， x2 ， 且x1＜4＜x2 ， 求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[m，n]上的值域?yàn)閇λ，μ]，若有 ，則稱該函數(shù)為“陡峭函數(shù)”．若函數(shù)g（x）在區(qū)間[a，2a]上為“陡峭函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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【題目】如圖：四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且AC=BD，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1， ，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．
（1）證明：當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)時(shí)，總有EF⊥AF；
（2）當(dāng)CE等于何值時(shí)，PA與平面PDE所成角的大小為45°．

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