Question

設(shè)A是單位圓x²+y²=1上的任意一點(diǎn)，i是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線i與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H，是否存在m，使得對(duì)任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)M（x，y），A（x，y），根據(jù)丨DM丨=m丨DA丨，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系x=x，|y|=|y|，利用點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)即得所求曲線C的方程；根據(jù)m∈（0，1）∪（1，+∞），分類討論，可確定焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）?x₁∈（0，1），設(shè)P（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則Q（-x₁，-y₁），N（0，y₁），利用P，H兩點(diǎn)在橢圓C上，可得，從而可得可得．利用Q，N，H三點(diǎn)共線，及PQ⊥PH，即可求得結(jié)論．
解答：解：（I）如圖1，設(shè)M（x，y），A（x，y）
∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x，|y|=m|y|
∴x=x，|y|=|y|①
∵點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，∴②
①代入②即得所求曲線C的方程為
∵m∈（0，1）∪（1，+∞），
∴0＜m＜1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（），
m＞1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（），
（Ⅱ）如圖2、3，?x₁∈（0，1），設(shè)P（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則Q（-x₁，-y₁），N（0，y₁），
∵P，H兩點(diǎn)在橢圓C上，∴
①-②可得③
∵Q，N，H三點(diǎn)共線，∴k_QN=k_QH，∴
∴k_PQ•k_PH=
∵PQ⊥PH，∴k_PQ•k_PH=-1
∴
∵m＞0，∴
故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意k＞0，都有PQ⊥PH

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查代入法求軌跡方程，計(jì)算要小心．