Question

已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2處的切線斜率為－.

(1)求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)g(x)＝，對∀x₁∈(0，＋∞)，∃x₂∈(－∞，0)使得f(x₁)≤g(x₂)成立，求正實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)證明：．

Answer 1

(1)解　由已知得f′(x)＝－a，

∴f′(2)＝－a＝－，解得a＝1.

于是f′(x)＝－1＝，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，

當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，

即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)．

(2)解　由(1)知x₁∈(0，＋∞)，f(x₁)≤f(1)＝0，

即f(x₁)的最大值為0，

由題意知：對∀x₁∈(0，＋∞)，∃x₂∈(－∞，0)使得f(x₁)≤g(x₂)成立，

只需f(x)_max≤g(x)_max.

由(1)當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，

f(x)＝ln x－x＋1≤0，即ln x≤x－1，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，ln n²<n²－1，

∴＋＋…＋<