Question

設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x(a＞0)的兩個極值點，且|x₁-x₂|=2．
（Ⅰ）證明：0＜a≤1；
（Ⅱ）證明：|b|≤

4 3

9

．

Answer 1

分析：（I）對函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=ax²+bx-a²，由題意可得x₁，x₂是方程的兩根，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂，x₁•x₂，而|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

，代入可求
（II）由（I）可得b²=4a²-4a³，構(gòu)造函數(shù)g（a）=4a²-4a³，利用導(dǎo)數(shù)知識求函數(shù)g（a）的單調(diào)區(qū)間及最值，而b²≤g（a）_max，即可．

解答：解：（Ⅰ）對f（x）求導(dǎo)可得f'（x）=ax²+bx-a²（a＞0）．（2分）
因為x₁，x₂是f（x）的兩個極值點，所以x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩個實根．
于是x1+x2=-

b

a

，x1x2=-a，
故|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=

b2

a2

+4a=4，
即b²=4a²-4a³．（4分）
由b²≥0得4a²-4a³≥0，解得a≤1．a(chǎn)＞0，
所以0＜a≤1得證．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b²=4a²-4a³，設(shè)g（a）=4a²-4a³，
則g'（a）=8a-12a²=4a（2-3a）．（8分）
由g'（a）＞0?0＜a＜

2

3

；g'（a）＜0?

2

3

＜a≤1．（10分）
故g（a）在a=

2

3

時取得最大值

16

27

，
即b2≤

16

27

，
所以|b|≤

4 3

9

．（13分）

點評：本題是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的簡單運用，熟練運用導(dǎo)數(shù)的知識解決問題，要求考生熟練掌握基本知識，靈活轉(zhuǎn)化問題，還要具備一定的邏輯推理的能力．