Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E 為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面EAC；
（2）若AD=2AB=2，求直線PB與平面ABCD所成角的正切值；
（3）當(dāng)

AD

AB

為何值時(shí)，PB⊥AC？

Answer 1

分析：（1）要證PB∥平面EAC，根據(jù)線面平行的判定定理，只需證明PB平行于平面EAC中的一條直線．連接BD交AC于O，連接EO，因?yàn)镺、E分別為BD、PD的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)，可知EO∥PB，從而問題得證；
（2）設(shè)N為AD中點(diǎn)，連接PN，BN，則PN⊥AD，從而可得∠PBN為直線PB與平面ABCD所成的角，進(jìn)而可求PB與平面ABCD所成角正切值；
（3）由（2）知，NB為PB在面ABCD上的射影，要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC，利用Rt△NAB∽R(shí)t△CBA，可求得

AD

AB

=

2

時(shí)，PB⊥AC．

解答：（1）證明：連接BD交AC于O，連接EO，
因?yàn)镺、E分別為BD、PD的中點(diǎn)，
所以EO∥PB，…（2分）
因?yàn)镋0?平面EAC，PB?平面EAC，
所以PB∥平面EAC．…（4分）
（2）解：設(shè)N為AD中點(diǎn)，連接PN，BN，則PN⊥AD…（5分）
又面PAD⊥底面ABCD，
所以PN⊥底面ABCD…（6分）
所以∠PBN為直線PB與平面ABCD所成的角，…（7分）
又AD=2AB=2，則PN=

3

，NB=

2

，…（8分）
所以tan∠PBN=

3

2

=

6

2

，
即PB與平面ABCD所成角正切為值

6

2

…（9分）
（3）由（2）知，NB為PB在面ABCD上的射影，要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC．（10分）
在矩形ABCD中，設(shè)AD=1，AB=x，AN=

1

2

，
由∠ANB=∠BAC，得Rt△NAB∽R(shí)t△CBA，…（11分）

AN

AB

=

AB

BC

⇒AB2=AN•BC⇒x2=

1

2

解之得：x=

2

2

，…（13分）
所以，當(dāng)

AD

AB

=

2

時(shí)，PB⊥AC．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，線面角，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用線面垂直的判定，正確作出線面角，有綜合性．