Question

已知函數(shù)f（x）=2x+sinx，對(duì)任意的m∈[-2，2]，f（mx-3）+f（x）＜0恒成立，則x的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先利用定義、導(dǎo)數(shù)分別判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，然后利用函數(shù)的性質(zhì)可去掉不等式中的符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化具體不等式，借助一次函數(shù)的性質(zhì)可得x的不等式組，解出可得答案．

解答： 解：∵f（-x）=2（-x）+sin（-x）=-（2x+sinx）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)，
又f'（x）=2+cosx＞0，∴f（x）單調(diào)遞增，
f（mx-3）+f（x）＜0可化為f（mx-3）＜-f（x）=f（-x），
由f（x）遞增知mx-3＜-x，即mx+x-3＜0，
∴對(duì)任意的m∈[-2，2]，f（mx-3）+f（x）＜0恒成立，
等價(jià)于對(duì)任意的m∈[-2，2]，mx+x-3＜0恒成立，
則

-2x+x-3＜0 2x+x-3＜0

，解得-3＜x＜1，
故答案為：（-3，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．