Question

設(shè)點(diǎn)P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與圓x²+y²=a²+b²在第一象限的交點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且|PF₁|=2|PF₂|，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  5

• B、

  5

  2

• C、

  10

• D、

  10

  2

Answer 1

分析：由P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞，b＞0)與圓x²+y²=a²+b²在第一象限的交點(diǎn)，推導(dǎo)出∠F₁PF₂=90°．再由|PF₁|=2|PF₂|，知|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，由此求出c=

5

a，從而得到雙曲線的離心率．

解答：解：∵P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞，b＞0)與圓x²+y²=a²+b²在第一象限的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離|PO|=

a2+b2

=c，
∴∠F₁PF₂=90°，
∵|PF₁|=2|PF₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=|PF₂|=2a，∴|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
∴16a²+4a²=4c²，
∴c=

5

a，
∴e=

c

a

=

5

．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意公式的靈活運(yùn)用．