Question

17．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一焦點F在拋物線y²=4x 的準(zhǔn)線上，且點M（1，$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）在橢圓上
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過直線x=-2上一點P作橢圓E的切線，切點為Q，證明：PF⊥QF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線y²=4x的準(zhǔn)線，求出c，利用點$M（{1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$在橢圓上，求出a，可得b，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過PQ：y=kx+m，并代入到$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$中，求得Q的坐標(biāo)，證明$\overrightarrow{PF}⊥\overrightarrow{QF}$，即可證明：PF⊥QF．

解答 （Ⅰ）解：拋物線y²=4x的準(zhǔn)線為x=-1，則F（-1，0），即c=1．…（2分）
又點$M（{1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$在橢圓上，則$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{2（{{a^2}-1}）}}=1$，解得a²=2，…（4分）
故求橢圓E的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）證明：設(shè)P（-2，y₀）、Q（x₁，y₁）．
依題意可知切線PQ的斜率存在，設(shè)為k，則PQ：y=kx+m，并代入到$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$中，
整理得：（2k²+1）x²+4mkx+2（m²-1）=0…（8分）
因此△=16m²k²-8（2k²+1）（m²-1）=0，即m²=2k²+1．…（9分）
從而${x_1}=-\frac{2mk}{{2{k^2}+1}}$，${y_1}=-\frac{{2m{k^2}}}{{2{k^2}+1}}+m=\frac{m}{{2{k^2}+1}}$，則$Q（{-\frac{2mk}{{2{k^2}+1}}，\frac{m}{{2{k^2}+1}}}）$；…（10分）
又y₀=-2k+m，則P（-2，-2k+m），$\overrightarrow{PF}=（{1，2k-m}），\overrightarrow{QF}=（{\frac{2mk}{{2{k^2}+1}}-1，-\frac{m}{{2{k^2}+1}}}）$．…（11分）
由于$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{QF}=\frac{2mk}{{2{k^2}+1}}-1-\frac{{m（{2k-m}）}}{{2{k^2}+1}}=\frac{m^2}{{2{k^2}+1}}-1=0$，故$\overrightarrow{PF}⊥\overrightarrow{QF}$，即PF⊥QF．…（13分）

點評 本題考查拋物線的性質(zhì)，橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，屬于中檔題．