已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)A、B，且f（1）=0．
（1）求
c
a
的范圍；
（2）證明：
3
2
＜|AB|＜3．
分析：（1）根據(jù)已知條件得到a+b+c=0，又a＞b＞c，進(jìn)一步得出a＞0，c＜0，利用不等式的性質(zhì)求出
c
a
的范圍；
（2）將b=-a-c代入ax2+bx+c，令其為0，求出A，B的橫坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式表示出|AB|，利用（1）中
c
a
的范圍得證
解答：解：（1）∵f（1）=0，
∴a+b+c=0，又a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
∴
2a+c＞a+b+c=0
a+2c＜a+b+c=0
，
即
2a+c＞0
a+2c＜0
，
∴-2＜
c
a
＜-
1
2
．
（2）∵a+b+c=0，
∴b=-a-c，
∴ax2+bx+c=ax2-（a+c）x+c=（ax-c）（x-1）=0，
∴xA=
c
a
，xB=1或xA=1，xB=
c
a
，
∴|AB|=|xA-xB|=|
c
a
-1|=1-
c
a

由（1）知-2＜
c
a
＜-
1
2
，
∴1+
1
2
＜1-
c
a
＜1+2，
即
3
2
＜|AB|＜3．
點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)；考查不等式的性質(zhì)及兩點(diǎn)的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
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已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且滿足f（2）=0，求實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)（0，1），且與x軸有唯一的交點(diǎn)（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)是（-1，2），且經(jīng)過原點(diǎn)，求f（x）的解析式．

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