Question

如圖，已知雙曲線C₁：=1（m＞0，n＞0），圓C₂：（x-2）²+y²=2，雙曲線C₁的兩條漸近線與圓C₂相切，且雙曲線C₁的一個(gè)頂點(diǎn)A與圓心C₂關(guān)于直線y=x對(duì)稱，設(shè)斜率為k的直線l過(guò)點(diǎn)C₂．
（1）求雙曲線C₁的方程；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，在雙曲線C₁的上支上求一點(diǎn)P，使其與直線l的距離為2．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)雙曲線的漸近線為y=±x，由雙曲線C₁的兩漸近線與圓C₂：（x-2）²+y²=2相切及由A（0，）與圓心C₂（2，0）關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求出m，n的值，從而能求出雙曲線的方程．
（2）當(dāng)k=1時(shí)，由l過(guò)點(diǎn)C₂（2，0）知直線l的方程，設(shè)雙曲線C₁上支上一點(diǎn)P（x，y）到直線l的距離為2，建立關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)的方程組，由此能求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）雙曲線C₁的兩條漸近線方程為：
y=±x，頂點(diǎn)A為（0，）
∵雙曲線C₁的兩漸近線與圓C₂：（x-2）²+y²=2相切
∴=
即=1                  ①
又∵A（0，）與圓心C₂（2，0）關(guān)于直線y=x對(duì)稱
∴=2                    ②
由①、②解得：m=n=4
故雙曲線C₁的方程為：y²-x²=4
（2）當(dāng)k=1時(shí)，由l過(guò)點(diǎn)C₂（2，0）知：
直線l的方程為：y=x-2
設(shè)雙曲線C₁上支上一點(diǎn)P（x，y）到直線l的距離為2，則
y²-x²=4，且=2，
又∵點(diǎn)P（x，y）在雙曲線C₁的上支上，故y＞0
解得：x=2，y=2．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法和已知k的值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用雙曲線的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．