Question

9．已知函數(shù)f（x）=sin（$\frac{k}{5}$x+$\frac{π}{3}$），k＞0，求：
（1）函數(shù)的最小正周期；
（2）若函數(shù)相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是5，求k；
（3）試求最小正整數(shù)k，使在任意兩個(gè)整數(shù)之間上的函數(shù)圖象與x軸至少有兩個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得f（x）的最小正周期，
（2）由題意可得函數(shù)的周期為$\frac{10π}{k}$=10，由此求得k的值．
（3）根據(jù)題意可得$\frac{k}{5}$+$\frac{π}{3}$≥2π，求得k≥$\frac{25π}{3}$，可得k的最小正整數(shù)值．

解答 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=sin（$\frac{k}{5}$x+$\frac{π}{3}$），k＞0，
它的最小正周期為$\frac{2π}{\frac{k}{5}}$=$\frac{10π}{k}$．
（2）若函數(shù)相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是5，則函數(shù)的周期為$\frac{10π}{k}$=10，
求得k=π．
（3）根據(jù)在任意兩個(gè)整數(shù)之間上的函數(shù)圖象與x軸至少有兩個(gè)交點(diǎn)，f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得$\frac{k}{5}$+$\frac{π}{3}$≥2π，k≥$\frac{25π}{3}$，∴k的最小正整數(shù)為27．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，函數(shù)的零點(diǎn)的定義，屬于基礎(chǔ)題．