Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在閉區(qū)間[0，|2a|]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定切線的斜率，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得極值，即可得到最值．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=6x²-12x+6，所以f′（2）=6
∵f（2）=4，∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=6x-8；
（Ⅱ）記g（a）為f（x）在閉區(qū)間[0，|2a|]上的最小值．
f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a）
令f′（x）=0，得到x₁=1，x₂=a
當(dāng)a＞1時(shí)，

x		（0，1）	1	（1，a）	a	（a，2a）	2a
f′（x）		+		-		+
f（x）		單調(diào)遞增	極大值3a-1	單調(diào)遞減	極小值 a2（3-a）	單調(diào)遞增	4a3

比較f（0）=0和f（a）=a²（3-a）的大小可得g（a）=；
當(dāng)a＜-1時(shí)，

X		（0，1）	1	（1，-2a）	-2a
f′x）		-		+
f（x）		單調(diào)遞減	極小值3a-1	單調(diào)遞增	-28a3-24a2

∴g（a）=3a-1
∴f（x）在閉區(qū)間[0，|2a|]上的最小值為g（a）=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．