Question

19．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁=f（x+1），a₂=0，a₃=f（x-1），其中f（x）=log₂x，則a₄=（　�。�

• A． -log₂（3+2$\sqrt{2}$）
• B． -log₂（$\sqrt{2}$+1）
• C． log₂（3+2$\sqrt{2}$）
• D． log₂（$\sqrt{2}$+1）

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的定義得到：2a₂=a₁+a₃，由此列出x的值，易求a₄值．

解答 解：因為數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，所以a₁+a₃=2a₂，即f（x+1）+f（x-1）=0，又f（x）=log₂x，
所以log₂（x+1）+log₂（x-1）=0，
整理得x²-1=1，
解得x₁=$\sqrt{2}$，或x₂=-$\sqrt{2}$．
當(dāng)x₁=$\sqrt{2}$時，a₁=f（x+1）=f（$\sqrt{2}$+1）=log₂（$\sqrt{2}$+1），d=a₂-a₁=0-log₂（$\sqrt{2}$+1）=log₂（$\sqrt{2}$-1），
∴a₄=log₂（$\sqrt{2}$+1）+（4-1）×log₂（$\sqrt{2}$-1）=log₂（$\sqrt{2}$+1）•$\frac{1}{（\sqrt{2}-1）^{3}}$=-log₂（3+2$\sqrt{2}$）
故選：A．

點評 本題是求等差數(shù)列的通項公式，運用等差中項概念列出關(guān)于x的方程，求解x，然后代回求首項，題目體現(xiàn)的解題思想是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和方程思想．