Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x+1}$，點(diǎn)A₀表示坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A_n（n，f（n））（n∈N^*），若向量a_n=$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{A}_{n-1}{A}_{n}}$，θ_n是a_n與i的夾角（其中i=（1，0））．則tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃等于（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)a_n=$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{A}_{n-1}{A}_{n}}$=$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{n}}$，從而可由斜率公式求tanθ₁，tanθ₂，tanθ₃的值，從而解得．

解答 解：∵a_n=$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{A}_{n-1}{A}_{n}}$=$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{n}}$，
∵點(diǎn)A_n（n，f（n））（n∈N^*），
∴點(diǎn)A₁（1，$\frac{1}{2}$），點(diǎn)A₂（2，$\frac{1}{3}$），點(diǎn)A₃（3，$\frac{1}{4}$）；
∵θ_n是a_n與i的夾角（其中i=（1，0）），
∴tanθ₁=$\frac{\frac{1}{2}}{1}$=$\frac{1}{2}$，
tanθ₂=$\frac{\frac{1}{3}}{2}$=$\frac{1}{6}$，
tanθ₃=$\frac{\frac{1}{4}}{3}$=$\frac{1}{12}$，
∴tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{4}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量與函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了斜率公式及斜率的定義應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．