Question

已知函數(shù)．
（1）求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最值；
（3）函數(shù)f（x）在[1，2]上恒有f（x）≥3成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）證明：設(shè)x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，+∞），則x₂﹣x₁＞0，x₁x₂＞0．
∵f（x₂）﹣f（x₁）=，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）當(dāng)時(shí)，；
由（1）知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
∴
∴f（x）的最小值為，此時(shí)；無(wú)最大值．
（3）依題意，，即在[1，2]上恒成立．
∴函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴g（x）max=4
∴，
又a＞0．
∴，a的取值范圍是．