【題目】已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F(3,0),左、右頂點分別為M,N,點P是E在第一象限上的任意一點,且滿足kPMkPN=8.
(1)求雙曲線E的方程;
(2)若直線PN與雙曲線E的漸近線在第四象限的交點為A,且△PAF的面積不小于3,求直線PN的斜率k的取值范圍.
【答案】(1)x21.(2)0<k.
【解析】
(1)根據(jù)kPMkPN=8恒成立及c=3列出方程組,從而可得出a,b的值;
(2)設(shè)直線PA的方程為:x=my+1,用m表示出P、A的縱坐標,得出三角形PAF的面積關(guān)于m的函數(shù),求出m的范圍,從而求出k的范圍.
(1)設(shè)P(x0,y0),則kPM,kPN,
∴kPMkPN8,即8x02﹣8a2,
又P(x0,y0)是雙曲線上的點,∴1,即y02x02﹣b2,
∴8,又雙曲線的右焦點為(3,0),∴a2+b2=9.
∴a2=1,b2=8,
∴雙曲線的方程為:x21.
(2)由(1)可知N(1,0),雙曲線的過第四象限的漸近線方程為y=﹣2x,
設(shè)直線PN的方程為:x=my+1,則直線PN的斜率為k,顯然m>0.
聯(lián)立方程組,可得yA,
聯(lián)立方程組,可得yP,
∴S△PAF(yP﹣yA),
令3,解得m,
∴0,即0<k.
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【題目】在數(shù)列中,,.數(shù)列滿足,且.
(1)求的值;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)設(shè)數(shù)列的前項和為,若對于任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知P(3,)是橢圓C:1上的點,Q是P關(guān)于x軸的對稱點,橢圓C的離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)A,B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點.
①若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值.
②當A、B在運動過程中滿足∠APQ=∠BPQ時,問直線AB的斜率是否為定值,并說明理由.
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【題目】某汽車美容公司為吸引顧客,推出優(yōu)惠活動:對首次消費的顧客,按/次收費,并注冊成為會員,對會員逐次消費給予相應(yīng)優(yōu)惠,標準如下:
消費次第 | 第次 | 第次 | 第次 | 第次 | 次 |
收費比率 |
該公司注冊的會員中沒有消費超過次的,從注冊的會員中,隨機抽取了100位進行統(tǒng)計,得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:
消費次數(shù) | 次 | 次 | 次 | 次 | 次 |
人數(shù) |
假設(shè)汽車美容一次,公司成本為元,根據(jù)所給數(shù)據(jù),解答下列問題:
(1)某會員僅消費兩次,求這兩次消費中,公司獲得的平均利潤;
(2)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,設(shè)該公司為一位會員服務(wù)的平均利潤為元,求的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】在三棱錐A﹣BCD中,∠ABC=∠ABD=∠CBD=90°,BC=BD=BA=1,過點A作平面α與BC,BD分別交于P,Q兩點,若AB與平面α所成的角為30°,則截面APQ面積的最小值是( )
A.1B.C.D.
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【題目】給出下列四個命題
①四面體中,,,則
②已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為2
③若正數(shù)和滿足,則
④向量,若存在實數(shù),使得,則
其中真命題的序號是______(寫出所有真命題的序號).
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【題目】“雙11”促銷活動中,某商場為了吸引顧客,搞好促銷活動,采用“雙色球”定折扣的方式促銷,即:在紅、黃的兩個紙箱中分別裝有大小完全相同的紅、黃球各5個,每種顏色的5個球上標有1,2,3,4,5等5個數(shù)字,顧客結(jié)賬時,先分別從紅、黃的兩個紙箱中各取一球,按兩個球的數(shù)字之和為折扣打折,如,就按3折付款,并規(guī)定取球后不再增加商品.按此規(guī)定,顧客享有6折及以下折扣的概率是( 。
A.B.C.D.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)時,討論的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對任意的恒有成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】對某校高三年級100名學生的視力情況進行統(tǒng)計(如果兩眼視力不同,取較低者統(tǒng)計),得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知從這100人中隨機抽取1人,其視力在的概率為.
(1)求a,b的值;
(2)若報考高校A專業(yè)的資格為:任何一眼裸眼視力不低于5.0,已知在中有的學生裸眼視力不低于5.0.現(xiàn)用分層抽樣的方法從和中抽取4名同學,設(shè)這4人中有資格(僅考慮視力)考A專業(yè)的人數(shù)為隨機變量ξ,求ξ的分布列及數(shù)學期望.
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