14.如圖,Rt△ABC的斜邊長(zhǎng)為定值2cm,以斜邊的中點(diǎn)O為圓心作半徑為n的圓,BC的延長(zhǎng)線交圓于P、Q兩點(diǎn),求證:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2為定值.

分析 利用余弦定理,求出|AP|2、|AQ|2,結(jié)合∠AOP+∠AOQ=180°,即可求|AP|2+|AQ|2+|PQ|2的值.

解答 解:由題意,OA=OB=1,OP=OQ=n
△AOP中,根據(jù)余弦定理AP2=OA2+OP2-2OA•OPcos∠AOP
同理△AOQ中,AQ2=OA2+OQ2-2OA•OQcos∠AOQ
因?yàn)椤螦OP+∠AOQ=180°,
所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=2OA2+2OP2+PQ2=2+2n2+(2n)2=2+6n2為定值.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查余弦定理的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4,若將△BCD沿正方形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折,則在翻折過程中,四面體C-ABD的體積的最大值是$\frac{{16\sqrt{2}}}{3}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.設(shè)底為等邊三角形的直棱柱的體積為V,那么其表面積最小時(shí),底面邊長(zhǎng)為( 。
A.$\root{3}{4V}$B.$\root{3}{6V}$C.$\root{3}{8V}$D.$\sqrt{4V}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.在△ABC中,已知sinA=$\frac{3}{5}$,sinA+cosA<0,a=3$\sqrt{5}$,b=5.求c的值及△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.如圖所示,在五棱錐P-ABCDE中,PE⊥平面ABCDE,DE⊥AE,AB∥DE,BC∥AE.AE=AB=PE=2DE=2BC,F(xiàn)為棱PA的中點(diǎn),過D、E、F的平面α與棱PB、PC分別交于點(diǎn)G、H.
(1)求證:DE∥FG;
(2)設(shè)DE=1,求三棱錐G-PEF的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)的部分圖象如圖所示,則y=f(x)的圖象可由y=cos2x圖象( 。
A.向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)長(zhǎng)度單位B.向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)長(zhǎng)度單位
C.向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)長(zhǎng)度單位D.向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)長(zhǎng)度單位

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.已知圓M:(x-2)2+y2=$\frac{1}{4}$上一動(dòng)點(diǎn)P,拋物線C:x2=y上存在兩動(dòng)點(diǎn)A(x1,y1),B (x2,y2
(1)若M,A,B三點(diǎn)共線,求$\frac{{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$的值
(2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,已知|AB|=$\sqrt{({k}^{2}+1)(-8k-3)}$(k<-$\frac{3}{8}$),求點(diǎn)P到直線AB的距離d的最小值.

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3.如圖,PA切圓O于點(diǎn)A,割線PBC經(jīng)過圓心O,若PB=OB=1,OD平分∠AOC,交圓O于點(diǎn)D,連接PD交圓O于點(diǎn)E,則PE的長(zhǎng)等于(  )
A.$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$B.$\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$C.$\frac{{5\sqrt{7}}}{7}$D.$\sqrt{7}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.如圖,平行四邊形ABCD中,$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$,H、M是AD、DC的中點(diǎn),BF=$\frac{1}{3}$BC.
(1)用$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$來表示$\overrightarrow{AM}$,$\overrightarrow{HF}$;
(2)若|$\overrightarrow{a}$|=3,|$\overrightarrow$|=4,$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$,求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{HF}$.

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