Question

已知函數(shù)f（x）=e^x•g（x），其中g(shù)（x）=ax²-2x-2．
（1）若存在x∈R，使得g（x）＞0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)y=f（|sinx|）的值域．

Answer 1

（1）存在x∈R，使得g（x）＞0，
即存在x∈R，使得ax²-2x-2＞0，
當(dāng)a＞0時(shí)，滿足要求；當(dāng)a=0時(shí)，滿足要求；
當(dāng)a＜0時(shí)，△＞0，解得-

1

2

＜a＜0
綜上得，a＞-

1

2

（4分）
（2）f（x）=e^x•g（x）=e^x•（ax²-2x-2）
∴f′（x）=（e^x）′•（ax²-2x-2）+e^x•（ax²-2x-2）′
=e^x•（ax²-2x-2）+e^x•（2ax-2）
=e^x•[ax²+（2a-2）x-4]
設(shè)|sinx|=t，（0≤t≤1），則轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f（t），（0≤t≤1）的值域．
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=-2e^x•（x+2）＜0，此時(shí)函數(shù)f（t）在[0，1]上為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（t）的值域?yàn)閇f（1），f（0）]，即[（a-4）e，-2]
當(dāng)a＜0時(shí)，f′(x)=ex•[ax2+(2a-2)x-4]=a•ex•(x-

2

a

)(x+2)＜0
此時(shí)函數(shù)f（t）在[0，1]上為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（t）的值域?yàn)閇f（1），f（0）]，即[（a-4）e，-2]（6分）
當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)=ex•[ax2+(2a-2)x-4]=a•ex•(x-

2

a

)(x+2)
令f′（x）=0，解得x=

2

a

或x=-2（舍）．
當(dāng)x變化時(shí)，f（x）與f′（x）的變化情況如下表：



若

2

a

≥1，即0＜a≤2時(shí)，函數(shù)f（t）在[0，1]上為減函數(shù)．
∴函數(shù)f（t）的值域?yàn)閇f（1），f（0）]，即[（a-4）e，-2]
若0＜

2

a

＜1，即a＞2時(shí)，函數(shù)f（t）在(0，

2

a

)上遞減，在(

2

a

，1)上遞增
∴ymin=f(

2

a

)=-2e

2

a

函數(shù)f（t）在[0，1]上的最大值為f（0）與f（1）中的較大者
∵f（0）=-2，f（1）=（a-4）e，∴f（1）-f（0）=（a-4）e+2
∴當(dāng)a＞4-

2

e

時(shí)，f（1）＞f（0），此時(shí)y_max=f（1）=（a-4）e；
當(dāng)a=4-

2

e

時(shí)，f（1）=f（0），此時(shí)y_max=f（0）=f（1）=-2；
當(dāng)2＜a＜4-

2

e

時(shí)，f（1）＜f（0），此時(shí)y_max=f（0）=-2（13分）
綜上，當(dāng)a≤2時(shí)，函數(shù)f（|sinx|）的值域?yàn)閇（a-4）e，-2]；
當(dāng)2＜a≤4-

2

e

時(shí)，函數(shù)f（|sinx|）的值域?yàn)?span mathtag="math" >[-2e

2

a

，-2]；
當(dāng)a＞4-

2

e

時(shí)，函數(shù)f（|sinx|）的值域?yàn)?span mathtag="math" >[-2e

2

a

，(a-4)e]．（14分）