已知f（x）=
a
•
b
，其中向量
a
=(2cosx，-
3
sin2x)，
b
=（cosx，1）（x∈R）
（Ⅰ）求f （x）的周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，f（A）=-1，a=
7
，
AB
•
AC
=3，求邊長b和c的值（b＞c）．
分析：（Ⅰ）利用兩個向量的數(shù)量積公式，利用三角函數(shù)的恒等變換化簡f（x）的解析式為1+2cos(2x+
π
3
)，由此求出最小正周期和單調(diào)減區(qū)間．
（2）由f （A）=1求得cos(2A+
π
3
)=-1，再根據(jù)2A+
π
3
的范圍求出2A+
π
3
的值，從而求出A的值，再由
AB
•
AC
=3 和余弦定理求得b和c的值．
解答：解：（Ⅰ）由題意知：
f（x）=
a
•
b
=2cos2x-
3
sin2x=1+cos2x-
3
sin2x=1+2cos(2x+
π
3
)，
∴f（x）的最小正周期 T=π．…（4分）
由 2kπ≤2x+
π
3
≤2kπ+π，k∈z，求得kπ-
π
6
≤ x ≤ kπ+
π
3
，k∈z．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[kπ-
π
6
，kπ+
π
3
]，k∈z，k∈z．…（6分）
（2）∵f （A）=1+2cos(2A+
π
3
)=-1，∴cos(2A+
π
3
)=-1，…（8分）
又
π
3
＜2A+
π
3
＜
7π
3
，∴2A+
π
3
=π，A=
π
3
．…（9分）
∵
AB
•
AC
=3 即bc=6，由余弦定理得  a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-3bc，7=（b+c）2-18，b+c=5，…（11分）
又b＞c，∴b=3，c=2．…（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的單調(diào)性和周期性，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面向量
a
=（
3
，-1），
b
=（sinx，cosx）
（1）若已知
a
⊥
b
，求tanx的值
（2）若已知f（x）=
a
•
b
，求f（x）的最大值及取得最大值的x的取值集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2014•瀘州一模）設(shè)平面向量
a
=（
3
sinx，2cosx），
b
=（2sin（
π
2
-x），cosx），已知f（x）=
a
•
b
+m在[0，
π
2
]上的最大值為6．
（Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）若f(
π
2
+x0)=
14
5
，x0∈[
π
4
，
π
2
]．求cos2x0的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知f（x）=
a
•
b
，其中向量
a
=(2cosx，-
3
sin2x)，
b
=（cosx，1）（x∈R）
（Ⅰ）求f （x）的周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，f（A）=-1，a=
7
，
AB
•
AC
=3，求邊長b和c的值（b＞c）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知平面向量
a
=（
3
，-1），
b
=（sinx，cosx）
（1）若已知
a
⊥
b
，求tanx的值
（2）若已知f（x）=
a
•
b
，求f（x）的最大值及取得最大值的x的取值集合．

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