Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（a為實常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=﹣4時，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值及相應(yīng)的x值；
（2）當(dāng)x∈[1，e]時，討論方程f（x）=0根的個數(shù)．
（3）若a＞0，且對任意的x1 ， x2∈[1，e]，都有 ，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=﹣4時，f（x）=﹣4lnx+x2，函數(shù)的定義域為（0，+∞）．

．

當(dāng)x∈ 時，f′（x）0，

所以函數(shù)f（x）在 上為減函數(shù)，在 上為增函數(shù)，

由f（1）=﹣4ln1+12=1，f（e）=﹣4lne+e2=e2﹣4，

所以函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值為e2﹣4，相應(yīng)的x值為e

（2）解：由f（x）=alnx+x2，得 ．

若a≥0，則在[1，e]上f′（x）＞0，函數(shù)f（x）=alnx+x2在[1，e]上為增函數(shù)，

由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個數(shù)是0；

若a＜0，由f′（x）=0，得x= （舍），或x= ．

若 ，即﹣2≤a＜0，f（x）=alnx+x2在[1，e]上為增函數(shù)，

由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個數(shù)是0；

若 ，即a≤﹣2e2，f（x）=alnx+x2在[1，e]上為減函數(shù)，

由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+a≤﹣e2＜0，

所以方程f（x）=0在[1，e]上有1個實數(shù)根；

若 ，即﹣2e2＜a＜﹣2，

f（x）在 上為減函數(shù)，在 上為增函數(shù)，

由f（1）=1＞0，f（e）=e2+a．

= ．

當(dāng) ，即﹣2e＜a＜﹣2時， ，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個數(shù)是0．

當(dāng)a=﹣2e時，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個數(shù)是1．

當(dāng)﹣e2≤a＜﹣2e時， ，f（e）=a+e2≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個數(shù)是2．

當(dāng)﹣2e2＜a＜﹣e2時， ，f（e）=a+e2＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個數(shù)是1；

（3）解：若a＞0，由（2）知函數(shù)f（x）=alnx+x2在[1，e]上為增函數(shù)，

不妨設(shè)x1＜x2，則 變?yōu)閒（x2）+ ＜f（x1）+ ，由此說明函數(shù)G（x）=f（x）+ 在[1，e]單調(diào)遞減，所以G′（x）= ≤0對x∈[1，e]恒成立，即a 對x∈[1，e]恒成立，

而 在[1，e]單調(diào)遞減，所以a ．

所以，滿足a＞0，且對任意的x1，x2∈[1，e]，都有 成立的實數(shù)a的取值范圍不存在

【解析】（1）把a=﹣4代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點把給出的定義[1，e]分段，判出在各段內(nèi)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在[1，e]上的最大值及相應(yīng)的x值；（2）把原函數(shù)f（x）=alnx+x2求導(dǎo)，分a≥0和a＜0討論打哦函數(shù)的單調(diào)性，特別是當(dāng)a＜0時，求出函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及端點處的函數(shù)值，然后根據(jù)最小值和F（e）的值的符號討論在x∈[1，e]時，方程f（x）=0根的個數(shù)；（3）a＞0判出函數(shù)f（x）=alnx+x2在[1，e]上為增函數(shù)，在規(guī)定x1＜x2后把 轉(zhuǎn)化為f（x2）+ ＜f（x1）+ ，構(gòu)造輔助函數(shù)G（x）=f（x）+ ，由該輔助函數(shù)是減函數(shù)得其導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立，分離a后利用函數(shù)單調(diào)性求a的范圍．