Question

函數(shù)f（x）=log_a

m-x

1+x

是奇函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)的值域?yàn)椋?，+∞），則a+b=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題先通過函數(shù)的奇偶性，求出參數(shù)m的值，再利用分類討論，對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究，得到函數(shù)的值域，根據(jù)條件中函數(shù)的值域，得到對(duì)應(yīng)的方程，解方程，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=log_a

m-x

1+x

是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴loga

m+x

1-x

=-log_a

m-x

1+x

，
∴

m+x

1-x

=

1+x

m-x

，
∴m²=1，
當(dāng)m=-1時(shí)，

m-x

1+x

=

-1-x

1+x

=-1＜0，不合題意，舍去，
∴m=1．
∴函數(shù)f（x）=log a

1-x

1+x

=log a(-1+

2

x+1

)，x∈（-1，1）
當(dāng)a＞1時(shí)，
若x∈（a，b）與函數(shù)f（x）定義域（-1，1）矛盾，
∴不合題意．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）單調(diào)遞增，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的值域?yàn)椋?，+∞），
∴

f(a)=1 b=1

，
a=

2

-1，
∴a+b=

2

．
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和函數(shù)值域，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題有一定的綜合性，屬于中檔題．