【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，平面,分別是線段的中點(diǎn)，.

(1)證明：平面；

(2)設(shè)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求二面角的正弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：（1）取的中點(diǎn)為，連接,證明四邊形為平行四邊形即可證明平面；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系. 利用空間向量求出二面角的余弦值.進(jìn)而得到正弦值.

詳解：

（1）證明：取的中點(diǎn)為，連接,

∵四邊形是正方形, 分別是線段 的中點(diǎn),

,且,

∴且,

∴四邊形為平行四邊形，

∴且平面，平面，

（2）解：平面，四邊形是正方形，

兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

則

.

設(shè)平面的法向量為，

則 得 可取

設(shè)平面的法向量為，則 得

可取

所以

所以二面角的正弦值為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列五個(gè)正方體圖形中，是正方體的一條對(duì)角線，點(diǎn)M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，求能得出⊥面MNP的圖形的序號(hào)(寫出所有符合要求的圖形序號(hào))

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某保險(xiǎn)公司針對(duì)企業(yè)職工推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每人只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬(wàn)元.保險(xiǎn)公司把職工從事的所有崗位共分為、、三類工種，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的每賠付頻率如下表（并以此估計(jì)賠付概率）.

（Ⅰ）根據(jù)規(guī)定，該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤(rùn)都不得超過(guò)保費(fèi)的20%，試分別確定各類工種每張保單保費(fèi)的上限；

（Ⅱ）某企業(yè)共有職工20000人，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖，老板準(zhǔn)備為全體職工每人購(gòu)買一份此種保險(xiǎn)，并以（Ⅰ）中計(jì)算的各類保險(xiǎn)上限購(gòu)買，試估計(jì)保險(xiǎn)公司在這宗交易中的期望利潤(rùn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，平面，AB 1，AP AD 2.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）若點(diǎn)M，N分別在AB，PC上，且平面，試確定點(diǎn)M，N的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若α是第一象限角，則sinα+cosα的值與1的大小關(guān)系是（ ）

A. sinα+cosα＞1B. sinα+cosα=1C. sinα+cosα＜1D. 不能確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0,1表示沒有擊中目標(biāo)，2,3,4,5,6,7,8,

9表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：

7527

0293

7140

9857

0347

4373

8636

6947

1417

4698

0371

6233

2616

8045

6011

3661

9597

7424

7610

4281

根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為_______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)校高三年級(jí)學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測(cè)試的原始成績(jī)采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績(jī)均分布在內(nèi)，發(fā)布成績(jī)使用等級(jí)制，各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)見下表．

百分制

85分及以上

70分到84分

60分到69分

60分以下

等級(jí)

A

B

C

D

規(guī)定：A，B，C三級(jí)為合格等級(jí)，D為不合格等級(jí)為了解該校高三年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了n名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．

按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分?jǐn)?shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示

求n和頻率分布直方圖中的x，y的值，并估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)是合格等級(jí)的概率；

根據(jù)頻率分布直方圖，求成績(jī)的中位數(shù)精確到；

在選取的樣本中，從A，D兩個(gè)等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，求至少有一名學(xué)生是A等級(jí)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為保障高考的公平性，高考時(shí)每個(gè)考點(diǎn)都要安裝手機(jī)屏蔽儀，要求在考點(diǎn)周圍1 km內(nèi)不能收到手機(jī)信號(hào)，檢查員抽查某市一考點(diǎn)，在考點(diǎn)正西約 km/h的的B處有一條北偏東60°方向的公路，在此處檢查員用手機(jī)接通電話，以每小時(shí)12千米的速度沿公路行駛，最多需要多少時(shí)間，檢查員開始收不到信號(hào)，并至少持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間該考點(diǎn)才算合格？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，單位圓上存在兩點(diǎn)，滿足均與軸垂直，設(shè)與的面積之和記為．

若，求的值；

若對(duì)任意的，存在，使得成立，且實(shí)數(shù)使得數(shù)列為遞增數(shù)列，其中求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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