Question

設O點為坐標原點，曲線x²＋y²＋2x－6y＋1＝0上有兩點P、Q關于直線x＋my＋4＝0對稱，且＝0.

(1)求m的值；

(2)求直線PQ的方程．

Answer 1

 (1)曲線方程為(x＋1)²＋(y－3)²＝9，表示圓心為(－1,3)，半徑為3的圓．

∵點P，Q在圓上且關于直線x＋my＋4＝0對稱．

∴圓心(－1,3)在直線上，代入直線方程得m＝－1.

(2)∵直線PQ與直線y＝x＋4垂直，

∴設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，PQ方程為y＝－x＋b.

將y＝－x＋b代入圓方程得，

2x²＋2(4－b)x＋b²－6b＋1＝0.

Δ＝4(4－b)²－8×(b²－6b＋1)>0，

∴2－3<b<2＋3，

由韋達定理得，

x₁＋x₂＝b－4，x₁·x₂＝，

y₁·y₂＝(－x₁＋b)(－x₂＋b)

＝b²－b(x₁＋x₂)＋x₁·x₂＝，

∵＝0，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0，

即＋＝0.

解得b＝1∈(2－3，2＋3)．

∴所求的直線方程為y＝－x＋1.