Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}滿足公比q∈N⁺，a_n∈N⁺，且數(shù)列{a_n}中任意兩項(xiàng)之積也是該數(shù)列的一項(xiàng)．若a₁=2⁴，則q的所有可能取值之和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：依題意可求得該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n，設(shè)該數(shù)列中的任意兩項(xiàng)為a_m，a_t，它們的積為a_p，求得q=2

4

p-m-t+1

，分析即可．

解答： 解：由題意，a_n=2⁴q^n-1，設(shè)該數(shù)列中的任意兩項(xiàng)為a_m，a_t，它們的積為a_p，
則為a_m•a_t=a_p，即2⁴q^m-1•2⁴q^t-1=2⁴•q^p-1，（q，m，t，p∈N^*），
∴q=2

4

p-m-t+1

，
故p-m-t+1必是4的正約數(shù)，
即p-m-t+1的可能取值為1，2，4，
即

4

p-m-t+1

的可能取值為1，2，4，
∴q的所有可能取值的集合為{16，4，2}
∴q的所有可能取值之和為16+4+2=22．
故答案為：22．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，依題意求得q=2

4

p-m-t+1

是難點(diǎn)，分析得到p-m-t+1必是4的正約數(shù)是關(guān)鍵，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．