Question

△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列命題正確的是

 

（寫出正確命題的編號）．
①總存在某內(nèi)角α，使cosα≥

1

2

；
②若AsinB＞BsinA，則B＞A．
③存在某鈍角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；
④若2a

BC

+b

CA

+c

AB

=

0

，則△ABC的最小角小于

π

6

；
⑤若a＜tb（0＜t≤1），則A＜tB．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,正弦定理,余弦定理

專題：閱讀型,解三角形

分析：①通過討論三角形的形狀來判斷；
②構(gòu)造函數(shù)f（x）=

sinx

x

（0＜x＜π），應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，從而得到B＜A，即可判斷②；
③由兩角和的正切公式，推出tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，從而推斷③；
④將

BC

=

AC

-

AB

，化簡整理運用不共線結(jié)論，得到2a=b=c，再運用余弦定理求出cosA，即可判斷；
⑤構(gòu)造函數(shù)f（x）=tsinx-sin（tx），應(yīng)用導(dǎo)數(shù)運用單調(diào)性得到tsinB＜sin（tB），又sinA＜tsinB，再根據(jù)和差化積公式，結(jié)合角的范圍即可判斷．

解答： 解：①若cosα≥

1

2

，則0＜α≤

π

3

，若△ABC為直角三角形，則必有一內(nèi)角在（0，

π

3

]，若為銳角△ABC，則必有一個內(nèi)角小于等于

π

3

，若為鈍角三角形ABC，則必有一個內(nèi)角小于

π

4

，故總存在某內(nèi)角α，使cosα≥

1

2

；故①正確；
②設(shè)函數(shù)f（x）=

sinx

x

（0＜x＜π），則導(dǎo)數(shù)f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，若

π

2

≤x＜π，則f′（x）＜0，又AsinB＞BsinA，即

sinB

B

＞

sinA

A

⇒B＜A，若0＜x＜

π

2

，則由于tanx＞x，故f′（x）＜0，即有B＜A，故②不正確；
③在斜三角形中，由tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-tanC，得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，由于tanA+tanB+tanC＞0，即tanAtanBtanC＞0，即A，B，C均為銳角，故③不正確；
④若2a

BC

+b

CA

+c

AB

=

0

，即2a（

AC

-

.

AB

）-b

AC

+c

AB

=

0

，即（2a-b）

AC

=（2a-c）

AB

，由于

AC

，

AB

不共線，故2a-b=2a-c=0，即2a=b=c，由余弦定理得，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

7

8

＞

3

2

，故最小角小于

π

6

，故④正確；
⑤若a＜tb（0＜t≤1），則由正弦定理得，sinA＜tsinB，令f（x）=tsinx-sin（tx），則f′（x）=tcosx-tcos（tx），由于0＜tx＜x＜π，則cos（tx）＞cosx，即f′（x）＜0，tsinx＜sin（tx）即tsinB＜sin（tB），故有sinA＜sin（tB），即2cos

A+tB

2

sin

A-tB

2

＜0，故有A＜tB，故⑤正確．
故答案為：①④⑤

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查正弦、余弦定理及應(yīng)用，考查向量中這樣一個結(jié)論：若a

OA

+b

OB

=

0

（

OA

，

OB

不共線）則a=b=0，還考查三角形中的邊角關(guān)系以及構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用單調(diào)性證明結(jié)論，屬于綜合題．