Question

已知函數(shù)f（x）=，g（x）=alnx-x（a≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：當a＞0時，對于任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g（x₁）＜f（x₂）成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求函數(shù)f（x）的導數(shù)，再對字母a進行分類討論，根據(jù)導數(shù)大于0函數(shù)單調(diào)遞增，導數(shù)小于0時函數(shù)單調(diào)遞減可得答案．
（Ⅱ）欲證當a＞0時，對于任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g（x₁）＜f（x₂）成立，只須證明對于任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g（x）_max＜f（x）_min．由（Ⅰ）可知，當a＞0時，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，f（x）在（1，e]上單調(diào)遞減，從而有f（x）_min=a，同樣地利用導數(shù)可得，當a＞0時，g（x）在（0，a）上單調(diào)遞增，g（x）在（a，e]上單調(diào)遞減，從而g（x）_max=g（a）=alna-a，最后利用作差法即可得到g（x）_max＜f（x）_min．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為R，．
當a＞0時，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-		+		-
f（x）	↘		↗		↘

當a＜0時，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗		↘		↗

綜上所述，
當a＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；
當a＜0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當a＞0時，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，f（x）在（1，e]上單調(diào)遞減，
又f（0）=a，f（e）=
所以f（x）_min=a，
同樣地，當a＞0時，g（x）在（0，a）上單調(diào)遞增，g（x）在（a，e]上單調(diào)遞減，
所以g（x）_max=g（a）=alna-a，
因為a-（alna-a）=a（2-lna）＞a（2-lne）=a＞0，
所以對于任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g（x）_max=g（e）=alna-a＜a=f（x）_min．
所以對于任意x₁，x₂∈（0，e]，仍有x₁，x₂∈（0，e]．
綜上所述，對于任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g（x₁）＜f（x₂）成立．…（13分）
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．