Question

11．已知函數(shù)f（x）=log₂x（4-x）．
（I）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+1）上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[n，m]上的值域是[log₂（n+2），log₂（m+2）]，試求實數(shù)m的值；
（Ⅲ）如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，m]上的值域是（-∞，log₂（λm^2_）]．求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）=log₂[-（x-2）²+4]，當(dāng)x∈（0，2）時，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（2，4）時，f（x）單調(diào)遞減；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象分三類討論，列式求解；
（3）分兩類討論，用分離參數(shù)發(fā)求解．

解答 解：（1）f（x）=log₂[-（x-2）²+4]，x∈（0，4），
當(dāng)x∈（0，2）時，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（2，4）時，f（x）單調(diào)遞減，
依題意，x∈（m，m+1），f（x）單調(diào)遞增，
所以，$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{m+1≤2}\end{array}\right.$，解得m∈[0，1]；
（2）由（1）知，f（x）在（0，2）上遞增，在（2，4）遞減，
要使函數(shù)在[n，m]的值域為[log₂（n+2），log₂（m+2）]，需分類如下：
①當(dāng)0＜n＜m≤2時，函數(shù)遞增，所以f（x）_min=f（n），f（x）_max=f（m），
即log₂n（4-n）=log₂（n+2），log₂m（4-m）=log₂（m+2），
解得n=1，m=2，經(jīng)檢驗符合題意；
②當(dāng)2≤n＜m＜4時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以f（x）_min=f（m），f（x）_max=f（n），
即log₂n（4-n）=log₂（m+2），log₂m（4-m）=log₂（n+2），
即n（4-n）=m+2，m（4-m）=n+2，兩式相減得m+n=5，
所以，n²-5n+7=0，該方程無解；
③當(dāng)0＜n＜2＜m＜4時，所以，f（x）_max=f（2）=log₂4=log₂（m+2），解得m=2，舍去；
綜合以上討論得，n=1，m=2；
（3）因為f（x）在（0，2）上遞增，在（2，4）遞減，所以分兩類討論，
①當(dāng)0＜m≤2時，f（x）_max=f（m）=log₂m（4-m）=log₂（λm²），
解得λ=$\frac{4}{m}$-1∈[1，+∞）；
②當(dāng)2＜m＜4時，f（x）_max=f（2）=log₂4=log₂（λm²），
解得λ=$\frac{4}{m^2}$∈（$\frac{1}{4}$，1），
綜合以上討論得，λ∈（$\frac{1}{4}$，+∞）．

點評 本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論的解題思想，屬于難題．