Question

6．如圖，四凌錐P-ABCD而底面ABCD是矩形，側(cè)面PAD是等腰直角三角形∠APD=90°，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）在AD=2，AB=4，求三棱錐P-ABD的體積；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，求四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

Answer 1

分析 （I）由底面ABCD為矩形可得CD⊥AD，由平面PAD⊥平面ABCD，從而CD⊥平面PAD，得到結(jié)論；
（II）由（I）證明可知PA為三棱錐P-ABD的高，底面是直角三角形，代入公式計算即可得到棱錐體積；
（III）取BD中點M，過M作MN⊥平面ABCD，則球心O在直線MN上，連由OP=OA可知OM=$\frac{1}{2}$PA=1，于是球的半徑OA=$\sqrt{A{M}^{2}+O{M}^{2}}$，從而求出球的表面積．

解答 解：（I）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD，∵CD?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
（II）過P作PE⊥AD，垂足為E，∵△PAD是等腰直角三角形，∠APD=90°，
∴PE=$\frac{1}{2}AD$=1．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE?平面PAD，PE⊥AD，
∴PE⊥平面ABCD，
∴V_棱錐P-ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABD•PE=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•2•4•1=$\frac{4}{3}$．
（III）取BD中點M，過M作MN⊥平面ABCD，則球心O在直線MN上，
連接AM，則AM=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵PE⊥平面ABCD，∴MN∥PE．
∵四棱錐P-ABCD內(nèi)接于球，
∴OP=OA，
∴OM=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{1}{2}$，
∴OA=$\sqrt{O{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．
∴S_⊙O=4πOA²=21π．

點評 本題考查了面面垂直的判定，幾何體體積和圓內(nèi)接幾何體的特征，正確找到圓心位置是關(guān)鍵．