Question

已知集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}，B={x∈R|-

1

2

＜x≤2}
（1）A，B能否相等？若能，求出實數(shù)a的值，若不能，試說明理由？
（2）若命題p：x∈A，命題q：x∈B且p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）集合相等，轉(zhuǎn)化為元素間的相等關(guān)系求解
（2）p⇒q得A⊆B且A≠B，轉(zhuǎn)化為集合的關(guān)系求解．

解答：解：（1）若A=B顯然a=0時不滿足題意
當a＞0時A={x|-

1

a

＜x≤

4

a

}∴

- 1 a =- 1 2 4 a =2

⇒a=2
當a＜0時A={x|

4

a

≤x＜-

1

a

}顯然A≠B
故A=B時，a=2
（2）p⇒q得A⊆B且A≠B
0＜ax+1≤5⇒-1＜ax≤4
當a=0時，A=R不滿足．
當a＞0時，A={x|-

1

a

＜x≤

4

a

}則

- 1 a ≥- 1 2 4 a ＜2

或

- 1 a ＞- 1 2 4 a ≤2

解得a＞2
當a＜0時，A={x|

4

a

≤x＜-

1

a

}則

4 a ＞- 1 2 - 1 a ≤2

⇒a＜-8
綜上p是q的充分不必要條件，實數(shù)a的取值范圍是a＞2，或a＜-8

點評：本題考查集合間的關(guān)系，一般化為元素間的關(guān)系求解．