Question

如圖6，圓，P是圓C上的任意一動(dòng)點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），線段PA的垂直平分線l與半徑CP交于點(diǎn)Q.

（1）求點(diǎn)Q的軌跡G的方程；

（2）已知B，D是軌跡G上不同的兩個(gè)任意點(diǎn)，M為BD的中點(diǎn). ①若M的坐標(biāo)為M（2，1），求直線BD所在的直線方程；②若BD不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且不垂直于x軸，點(diǎn)O為軌跡G的中心. 求證：直線BD和直線OM的斜率之積是常數(shù)（定值）.

Answer 1

解：（1）圓C的圓心為C（-2，0），半徑r=6，.              

連結(jié)，由已知得，                                 

所以.                  

根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q的軌跡G是中心在原點(diǎn)，以C、A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于的橢圓，

即a=3，c=2，，                            

所以，點(diǎn)Q的軌跡G的方程為.                          

（2）①設(shè)B、D的坐標(biāo)分別為、，

則                                              

兩式相減，得，          

當(dāng)BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，有，             

所以，即.       

故BD所在的直線方程為，即.                                      

②證明：設(shè)，且，

由①可知,                              

又                                                 

所以（定值）.