Question

已知四棱錐P-GBCD中（如圖），PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=

3

4

BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點(diǎn)，PG=4
（Ⅰ）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（Ⅱ）若F點(diǎn)是棱PC上一點(diǎn)，且DF⊥GC，PF：FC=k，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）直接作出異面直線所成角的平面角，通過余弦定理求解．
（Ⅱ）由線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直及面面垂直然后建立比例關(guān)系，最后求參數(shù)的值．

解答： 解：（Ⅰ）在平面ABCD內(nèi)，過C點(diǎn)作CH∥EG
交AD于H，連結(jié)PH，則∠PCH（或其補(bǔ)角）就是異
面直線GE與PC所成的角．
在△PCH中，CH=

2

，PC=

20

，PH=

18

由余弦定理得，cos∠PCH=

10

10

∴異面直線GE與PC所成角的余弦值為

10

10

．
（Ⅱ）在平面GBCD內(nèi)，過D作DM⊥GC，M為垂足，連結(jié)MF，又因?yàn)镈F⊥GC
∴GC⊥平面MFD，
∴GC⊥FM
由平面PGC⊥平面ABCD，
∴FM⊥平面ABCD∴FM∥PG
由

DF

•

GC

=0得GM⊥MD，
∴GM=GD•cos45°=

3

2

∵

PF

FC

=

GM

MC

=

3 2

1 2

=3，
∴k=3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：異面直線所成的角，余弦定理的應(yīng)用，由線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直及面面垂直求參數(shù)的值．