【題目】如圖兩個同心球，球心均為點，其中大球與小球的表面積之比為3:1，線段與是夾在兩個球體之間的內(nèi)弦，其中兩點在小球上，兩點在大球上，兩內(nèi)弦均不穿過小球內(nèi)部.當(dāng)四面體的體積達(dá)到最大值時，此時異面直線與的夾角為，則（ ）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

首先判斷出正方體內(nèi)切球和外接球的半徑比為，內(nèi)切球和外接球的表面積之比為，符合題意中的小球和大球的比例.判斷當(dāng)四面體體積最大時，的位置關(guān)系，作出異面直線所成的角，解直角三角形求得.

設(shè)正方體的邊長為，則其內(nèi)切球半徑為，外接球的半徑為，所以內(nèi)切球和外接球的表面積之比為，符合題意中的小球和大球的比例. 依題意最長為，最長為小球的直徑.由于三角形的面積，若為定值，則時面積取得最大值.畫出圖像如下圖所示，其中分別是所在正方形的中心，是正方體內(nèi)切球與外接球的球心..由于，故此時四面體的體積最大.

由于，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以是異面直線和所成的角.所以由于，設(shè)是的中點，則，所以，所以.

故選：A

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知正數(shù)數(shù)列的前n項和為，滿足，.

（1）求數(shù)列的通項公式，若恒成立，求k的范圍；

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A. 56 B. 60 C. 120 D. 140

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（1）求證：平面，平面；

（2）試探究當(dāng)二面角從0°增加到90°的過程中，線段在平面上的投影所掃過的平面區(qū)域的面積；

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（Ⅰ）求橢圓的方程及點的坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)是坐標(biāo)原點，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點、，且與直線交于點，證明：存在常數(shù)，使得，并求的值．

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