Question

在數列{a_n}中，S_n是它的前n項和，且S_n=n²+n，在數列{b_n}中，b₁=1，b₂=3，且b_n+2=4b_n+1-4b_n．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=b_n+1-2b_n，求證：數列{c_n}為等比數列；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求數列{a_n•c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）

cn+1

cn

=

bn+2-2bn+1

bn+1-2bn

=

2bn+1-4bn

bn+1-2bn

=2，由此能證明數列{c_n}為等比數列．
（Ⅲ）cn=1×2n-1=2n-1，a_nc_n=2n×2^n-1=n×2ⁿ，由此利用錯位相減法能求出數列{a_n•c_n}的前n項和．

解答： （Ⅰ）解：當≥2時，an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n，…（2分）
當n=1時，a₁=2×1=2，
又a₁=S₁=1+1=2，…（3分）
∴a_n=2n．…（4分）
（Ⅱ）證明：

cn+1

cn

=

bn+2-2bn+1

bn+1-2bn

=

4bn+1-4bn-2bn+1

bn+1-2bn

=

2bn+1-4bn

bn+1-2bn

=2，
c₁=b₂-2b₁=3-2=1，
∴數列{c_n}為以1為首項，2為公比的等比數列．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得cn=1×2n-1=2n-1，…（9分）
∴a_nc_n=2n×2^n-1=n×2ⁿ，…（10分）
∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2^n-1，②
①-②得：
-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
=-2-（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．…（12分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查等比數列的證明，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．