Question

已知拋物線方程為x²=4y，過點M（0，2）作直線與拋物線交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過A，B分別作拋物線的切線，兩切線的交點為P．
（Ⅰ）求x₁x₂的值；
（Ⅱ）求點P的縱坐標(biāo)；
（Ⅲ）求△PAB面積的最小值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得x₁x₂的值．
（Ⅱ）分別表示出兩個切線方程，聯(lián)立可求得y．
（Ⅲ）表示出點P到直線AB的距離，線段AB的長度，利用三角形面積公式表示出三角形面積，進而求得△PAB面積的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)直線AB的斜率為k，則直線方程為y=kx+2，與拋物線方程聯(lián)立得x²-4kx-8=0，
△=16k²+32＞0，
∴x₁x₂=-8，
（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知過點A的切線斜率為

x1

2

，
∴切線方程為y-

x 2 1

4

=

x1

2

（x-x₁），①
同理過B的切線方程為y=

x2x

2

-

x 2 2

4

，②
由

x1x

2

-

x 2 1

4

=

x2x

2

-

x 2 2

4

，③
把③代入①得y=-2，
∴P的縱坐標(biāo)為-2．
（Ⅲ）∵x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8，
∵點P到直線AB的距離為d=

|2k2+4|

k2+1

，
線段AB的長度為|x₁-x₂|

1+k2

=

(x1+x2)2-4x1x2

•

1+k2

=4

k2+2

•

1+k2

，
S=

1

2

|2k2+4|

k2+1

•

4

k2+2

•

1+k2

=4（k²+2） 

3

2

≥8

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時取等號，
∴三角形PAB面積最小值為8

2

．

點評：本題主要考查了拋物線與直線的位置關(guān)系，點到直線距離的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析推理和運算的能力．