Question

已知函數(shù)f（x）=2x+1，g（x）=x，x∈R，數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足條件：a₁=1，a_n=f（b_n）=g（b_n+1），n∈N^﹡．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n+1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）令c_n=

2n

an•an+1

，T_n是數(shù)列{c_n}的前n項和，求使T_n＞

2009

2010

成立的最小的n值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）整理遞推式2b_n+1=b_n+1得b_n+1+1=2（b_n+1），進(jìn)而推斷出數(shù)列{b_n+1}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）根據(jù)（1）可求得數(shù)列}{b_n}的通項公式，進(jìn)而求得a_n，代入c_n=

2n

an•an+1

求得數(shù)列{c_n}的通項公式，利用裂項法求得數(shù)列的前n項的和，結(jié)果1-

1

2n+1-1

進(jìn)而根據(jù)T_n＞

2009

2010

求得n的范圍，確定n的最小值．

解答：解：（Ⅰ）證明：由題意得2b_n+1=b_n+1，
∴b_n+1+1=2b_n+2=2（b_n+1），
又∵a₁=2b₁+1，
∴b₁=0，b₁+1=1≠0，
所以數(shù)列{b_n+1}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（1）知，b_n+1=2^n-1，
∴a_n=2b_n+1=2ⁿ-1，
故cn=

2n

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

．
∴Tn=c1+c2+c3++cn=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)=1-

1

2n+1-1

．
由Tn＞

2009

2010

，且n∈N^*，解得滿足條件的最小的n值為10．

點評：本題主要考查了等比關(guān)系的確定，數(shù)列的求和．?dāng)?shù)列的求和方法很多，如公式法，裂項法，錯位相減法，平時應(yīng)注意多積累．