已知矩陣M=
2a
21
,其中a∈R,若點P(1,-2)在矩陣M的變換下得到點P(-4,0).
(Ⅰ)求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)求矩陣M的特征值及其對應的特征向量.
考點:特征值與特征向量的計算
專題:選作題,矩陣和變換
分析:(Ⅰ)利用矩陣的乘法,可求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)根據(jù)特征值的定義列出特征多項式,令f(λ)=0解方程可得特征值,再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量.
解答: 解:(Ⅰ)由
2a
21
1
-2
=
-4
0
,∴2-2a=-4,
∴a=3.---------(3分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知M=
23
21
,則矩陣M的特征多項式為f(λ)=(λ+1)(λ-4),
令f(λ)=0,可求得特征值為λ1=-1,λ2=4,
設λ1=-1對應的一個特征向量為α=
x
y
,
則由λ1α=Mα,得x+y=0,可令x=1,則y=-1,
∴矩陣M的一個特征值λ1=-1對應的一個特征向量為
1
-1
,
同理可得矩陣M的一個特征值λ2=4對應的一個特征向量為
3
2
點評:本小題主要考查矩陣與變換、矩陣的特征值與特征向量等基礎知識,考查運算求解能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

“x-2>0”是“x>1”的( 。
A、充要條件
B、必要不充分條件
C、充分不必要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦距是2,離心率是0.5;
(1)求橢圓的方程;
(2)求證:過點A(1,2)傾斜角為45°的直線l與橢圓C有兩個不同的交點;又記這兩個交點為P、Q,試求出線段PQ的中點M的坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax+
a
x
-3lnx.
(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)若f(x)在[2,e]上單調遞增,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在如圖所示的四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AB=BC=1,AD=2,E為PD的中點.
(Ⅰ)求異面直線PC與AD所成的角;
(Ⅱ)求證:平面PAC⊥平面PDC;
(Ⅲ)求直線EC與平面PAC所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

橢圓
x2
25
+
y2
9
=1上一點到兩焦點的距離之積為m,求m取最大值時的P點的坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

不用計算器求下列各式的值.
(1)2x
1
4
y-
1
3
•(3x-
1
2
y
2
3
)•(4x
1
4
y
2
3
)(x、y都是正數(shù))
(2)
lg8+lg125-lg2-lg5
lg
10
lg0.1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知集合U=R,∁UA={x|x2+6x≠0},B={x|x2+3(a+1)x+a2-1=0}且A∪B=A,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足Sn=2an-2
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設bn=
1
(n+1)log2an
,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

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