Question

已知?x∈R，e^x≥ax+b恒成立．
（1）當b=1時，求a的范圍．
（2）求a•b的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）令f（x）=e^x-ax-1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分別討論a≤0，a＞0的情況，求出a的取值范圍即可；
（2）令f（x）=e^x，設(shè)f（x）上一點坐標為P(x0，ex0)，f'（x）=e^x，所以k=ex0，所以切線方程為：y-ex0=ex0(x-x0)，整理得：y=ex0x+(1-x0)ex0，求出a、b，f（x）=ab，令f'（x）=0，求出a•b的最大值即可．

解答： 解：（1）令f（x）=e^x-ax-1，f'（x）=e^x-a=0，
①a≤0時，f'（x）≥0無最大，最小，
②a＞0時，f'（x）=0，x=lna（極小值點），
所以 f（x）_min=f（lna）=a-alna-1≥0，
令g（x）=f（lna）=a-alna-1g'（x）=1-lna-1=-lna=0，
解得a=1，
所以g（x）_min=g（1）=0，
所以f（x）_min≥0的解為a=1；
（2）令f（x）=e^x，設(shè)f（x）上一點坐標為P(x0，ex0)，f'（x）=e^x，
所以k=ex0，
所以切線方程為：y-ex0=ex0(x-x0)，
整理得：y=ex0x+(1-x0)ex0，
所以a=ex0，b=(1-x0)ex0，
令f（x）=ab=（1-x）e^2x，f'（x）=-e^2x+2（1-x）e^2x=（1-2x）e^2x，
令f'（x）=0，解得：極大值點：x=

1

2

，
所以f(x)max=f(

1

2

)=

e

2

．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，屬于中檔題．