Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB是半圓⊙O：x²+y²=1（y≥0）的直徑，C是半圓O（除端點A、B）上的任意一點，在線段AC的延長線上取點P，使|PC|=|BC|，試求動點P的軌跡方程．

Answer 1

分析：設P（x，y），則k_PA=

y

x+1

，k_PB=

y

x-1

，由已知得PA到PB的角為45°，故有tan45°=

y x-1 - y x+1

1+ y x-1 •  y x+1

，
化簡可得 點P的軌跡方程．

解答：解：連接BP，由已知得∠APB=45°，設P（x，y），則k_PA=

y

x+1

，k_PB=

y

x-1

，由PA到PB的角為45°，
得tan45°=

y x-1 - y x+1

1+ y x-1 •  y x+1

，化簡得x²+（y-1）²=2．
由已知，y＞0且k_PA=

y

x+1

＞0，
故點P的軌跡方程為x²+（y-1）²=2（x＞-1，y＞0）．

點評：本題考查求點的軌跡方程的方法，一條直線到另一條直線的角的運算公式，判斷PA到PB的角為45°，是
解題的關鍵，屬于中檔題．