Question

已知函數(shù)f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）在給出的直角坐標系中，畫出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的圖象．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）利用二倍角公式，兩角差的正弦公式，化簡函數(shù)f（x）的解析式為一個角的一個函數(shù)名稱的形式，然后利用T=

2π

|ω|

求周期．
（2）利用描點法畫出圖象．

解答： 解（1）已知函數(shù)f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）-sin2x
=cos2x-sin2x=-

2

sin（2x-

π

4

），∵T=

2π

2

=π，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
（2）列表如下：

x	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	9π 8
2x- π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
2 sin（2x- π 4 ）	0	2	0	- 2	0

描點畫圖如下：

虛線之間的部分即為函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的圖象．

點評：本題考查二倍角公式的應(yīng)用，兩角差的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，周期性，定義域和值域，化簡函數(shù)f（x）的解析式是解題的關(guān)鍵．