Question

6．已知函數(shù)f（x）=|lnx+$\frac{a}{lnx}$|（a∈R）在區(qū)間[e，e^e]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，1]
• B． （-∞，-1]
• C． [1，+∞）
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解，注意要對a進(jìn)行討論．

解答 解：函數(shù)f（x）=|lnx+$\frac{a}{lnx}$|在區(qū)間[e，e^e]上單調(diào)遞增，令t=lnx，則函數(shù)化為：y=|t+$\frac{a}{t}$|，t∈[1，e]．
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=|t+$\frac{a}{t}$|=t+$\frac{a}{t}$，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′=1-$\frac{a}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-a}{{t}^{2}}$，y′≥0恒成立，
即a≤（t²）_min=1，故a∈（0，1]此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=|lnx|在區(qū)間[e，e^e]上單調(diào)遞增，滿足條件．
當(dāng)-e²≤a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=|t+$\frac{a}{t}$|=t+$\frac{a}{t}$，要求在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，
因?yàn)閥′=1-$\frac{a}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-a}{{t}^{2}}$，y′＞0恒成立，-e²≤a＜0函數(shù)是增函數(shù)；
當(dāng)a＜-e²時(shí)，函數(shù)f（x）=|t+$\frac{a}{t}$|=-t-$\frac{a}{t}$，
y′=-1+$\frac{a}{{t}^{2}}$=-$\frac{{t}^{2}-a}{{t}^{2}}$在[1，e]，y′＞0恒成立，a＜-e²函數(shù)是增函數(shù)；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．