Question

9．設(shè)P是圓x²+y²=a²（a＞0）上的動點，點D是點P在x軸上的投影，M為PD上一點，且$\overrightarrow{MD}=\frac{a}\overrightarrow{PD}$（a＞b＞0）．
（Ⅰ）求證：點M的軌跡Γ是橢圓；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中橢圓Γ的左焦點為F，過F點的直線l交橢圓于A，B兩點，C為線段AB的中點，當三角形CFO（O為坐標原點）的面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)M的坐標為（x，y），P的坐標為（x_P，y_P），由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{P}=x}\\{{y}_{P}=\frac{a}y}\end{array}\right.$，由此能求出C的方程；
（Ⅱ）由橢圓C可得c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，左焦點F的坐標．由題意只考慮直線l的斜率存在且不為0即可．設(shè)直線l的方程為my=x+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用中點坐標公式可得y_P，利用S_△CFO=$\frac{1}{2}$|OF|•|y_C|和基本不等式即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)M的坐標為（x，y），P的坐標為（x_p，y_p），
由已知$\overrightarrow{MD}=\frac{a}\overrightarrow{PD}$（a＞b＞0），
可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{P}=x}\\{{y}_{P}=\frac{a}y}\end{array}\right.$                       
∵P在圓上，
∴x²+（$\frac{ay}$）²=a²，
即C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．
（Ⅱ）解：由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．
∴左焦點F（-c，0）．
由題意只考慮直線l的斜率存在且不為0即可，
設(shè)直線l的方程為my=x+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立橢圓方程化為（a²+b²m²）y²-2b²cmy-a²b²=0，
∴y₁+y₂=$\frac{2^{2}cm}{{a}^{2}+^{2}{m}^{2}}$，
∴y_C=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{^{2}cm}{{a}^{2}+^{2}{m}^{2}}$，
∴S_△CFO=$\frac{1}{2}$|OF|•|y_C|=$\frac{|^{2}{c}^{2}m|}{2（{a}^{2}+^{2}{m}^{2}）}$
=$\frac{^{2}{c}^{2}}{2（\frac{{a}^{2}}{|m|}+^{2}|m|）}$≤$\frac{^{2}{c}^{2}}{2×2\sqrt{{a}^{2}^{2}}}$=$\frac{b{c}^{2}}{4a}$，
當且僅當|m|=$\frac{a}$時取等號．
此時△CFO的最大值為$\frac{b{c}^{2}}{4a}$，
直線l的方程為±$\frac{a}$y=x+$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，即為
bx+ay+b$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=0或bx-ay+b$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=0．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，直線與橢圓相交問題、根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積最大值問題、基本不等式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．