Question

9．一火車(chē)鍋爐每小時(shí)煤的消耗費(fèi)用與火車(chē)行駛速度的立方成正比，已知當(dāng)速度為20km/h時(shí)，每小時(shí)消耗的煤價(jià)值40元，其他費(fèi)用每小時(shí)需400元，火車(chē)的最高速度為100km/h，火車(chē)以何速度行駛才能使從甲城開(kāi)往乙城的總費(fèi)用最少？

Answer 1

分析 設(shè)火車(chē)的速度為xkm/h，甲、乙兩城距離為akm，由40=k•20³，求得k，總費(fèi)用$f（x）=（k{x^3}+400）•\frac{a}{x}$，求得導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，即可得到極小值，也為最小值．

解答 解：設(shè)火車(chē)的速度為xkm/h，甲、乙兩城距離為akm．
由題意，令40=k•20³，∴$k=\frac{1}{200}$，
則總費(fèi)用$f（x）=（k{x^3}+400）•\frac{a}{x}$=$a（k{x^2}+\frac{400}{x}）=a（\frac{1}{200}{x^2}+\frac{400}{x}）（0＜x≤100）$．
由$f'（x）=\frac{{a（{x^3}-40000）}}{{100{x^2}}}=0$，得$x=20\;\root{3}{5}$．
當(dāng)$0＜x＜20\;\root{3}{5}$時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)20$\root{3}{5}$＜x＜100時(shí)，f′（x）＞0，
∴當(dāng)$x=20\;\root{3}{5}$時(shí)，f（x）取最小值，
即速度為$20\;\root{3}{5}$km/h時(shí)，總費(fèi)用最少．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．