Question

18．已知函數(shù)y=lg（mx²+2x+m-1）．
（1）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若函數(shù)的定義域?yàn)镸，且（0，3）⊆M，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得mx²+2x+m-1＞0恒成立，對(duì)m討論，m=0和m＞0，判別式△＜0，解不等式即可得到所求范圍；
（2）由題意可得mx²+2x+m-1＞0在（0，3）上恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離和導(dǎo)數(shù)，求得右邊函數(shù)的最值，再由恒成立思想即可得到所求范圍．

解答 解：（1）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，
則mx²+2x+m-1＞0恒成立，
當(dāng)m=0時(shí)，2x-1＞0不恒成立，故舍去；
當(dāng)m＞0，且判別式△=4-4m（m-1）＜0，
解得m＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或m＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
則有m＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
即有m的取值范圍是（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）；
（2）由題意可得mx²+2x+m-1＞0在（0，3）上恒成立，
即為m＞$\frac{1-2x}{1+{x}^{2}}$在（0，3）上恒成立，
令g（x）=$\frac{1-2x}{1+{x}^{2}}$，g′（x）=$\frac{2（{x}^{2}-x-1）}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
可得當(dāng)0＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減，
當(dāng)$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$＜x＜3時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增，
當(dāng)x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$處取得極小值，也為最小值，
當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=1，當(dāng)x=3時(shí)，g（3）=-$\frac{1}{2}$，
由恒成立思想可得，m≥1．
即有m的取值范圍為[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要考查二次不等式恒成立問(wèn)題，注意運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和最值，屬于中檔題．