Question

已知a₁，a₂，a₃，a₄是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比q≠1，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來的順序）是等差數(shù)列，則q=

 

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Answer 1

分析：若刪去第一項(xiàng)，則 a₁q，a₁q²，a₁q³  成等差數(shù)列，2a₁q²=a₁q+a₁q³，解得 q的值．
若刪去第二項(xiàng)，則 a₁，a₁q²，a₁q³  成等差數(shù)列，2a₁q²=a₁+a₁q³，解得 q的值．
若刪去第三項(xiàng)，則 a₁，a₁q，a₁q³ 成等差數(shù)列，2a₁q=a₁+a₁q³，解得 q的值．
若刪去第四項(xiàng)，則a₁，a₁q，a₁q²，成等差數(shù)列，2a₁q=a₁+a₁q²，解得 q的值．

解答：解：由題意可得，這4項(xiàng)即 a₁，a₁q，a₁q²，a₁q³，若刪去第一項(xiàng)，
則 a₁q，a₁q²，a₁q³  成等差數(shù)列，2a₁q²=a₁q+a₁q³，故 q=1（舍去），或q=0（舍去）．
若刪去第二項(xiàng)，則 a₁，a₁q²，a₁q³  成等差數(shù)列，
可得 2a₁q²=a₁+a₁q³，q=1 （舍去），或q=

1+ 5

2

，或q=

1- 5

2

（舍去）．
若刪去第三項(xiàng)，則 a₁，a₁q，a₁q³ 成等差數(shù)列，
2a₁q=a₁+a₁q³，q=

-1+ 5

2

，或 q=

-1- 5

2

（舍去），或q=1（舍去）．
若刪去第四項(xiàng)，則a₁，a₁q，a₁q²，成等差數(shù)列，2a₁q=a₁+a₁q²，q=1（舍去），
故答案為

-1+ 5

2

 或

1+ 5

2

．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論，是解題的關(guān)鍵．