Question

已知數列{a_n}的首項為1，對任意的n∈N^*，定義b_n=a_n+1-a_n．
（Ⅰ） 若b_n=n+1
（i）求a₃的值和數列{a_n}的通項公式；
（ii）求數列{

1

an

}的前n項和S_n；
（Ⅱ）若b_n+1=b_n+2b_n（n∈N^*），且b₁=2，b₂=3，求數列{b_n}的前3n項的和．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）（i）由a₁=1，a₂=a₁+b₁，可得a₃=a₂+b₂．
由a_n+1-a_n=n+1可得當n≥2時，a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1），再利用等差數列的前n項和公式即可得出．
（ii）由（i）得：

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，利用“裂項求和”即可得出．
（II）對任意的n∈N^*有b_n+1=b_n+2b_n（n∈N^*），且b₁=2，b₂=3，可得bn+6=

bn+5

bn+4

=

bn+4

bn+3bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=b_n，即數列{b_n}各項的值重復出現，周期為6．對n分類討論即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）（i）∵a₁=1，a₂=a₁+b₁=1+2=3，
∴a₃=a₂+b₂=3+3=6．
．由a_n+1-a_n=n+1得
當n≥2時，a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+…+n
=

n(n+1)

2

，
而a₁=1適合上式，
∴an=

n(n+1)

2

．
（ii）由（i）得：

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴S_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)
=

2n

n+1

．
（Ⅱ）∵對任意的n∈N^*有b_n+1=b_n+2b_n（n∈N^*），且b₁=2，b₂=3，
∴bn+6=

bn+5

bn+4

=

bn+4

bn+3bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=b_n，
∴數列{b_n}各項的值重復出現，周期為6．
又數列{b_n}的前6項分別為2，3，

3

2

，

1

2

，

1

3

，

2

3

，且這六個數的和為8．
設數列{b_n}的前n項和為S_n，則，
當n=2k（k∈N^*）時，
S_3n=S_6k=k（b₁+b₂+…+b₆）=8k，
當n=2k+1（k∈N^*）時，
S_3n=S_6k+3=k（b₁+b₂+…+b₆）+b₁+b₂+b₃=8k+

13

2

，
當n=1時，S₃=

13

2

．
∴當n為偶數時，S_3n=4n；當n為奇數時，S3n=4n+

5

2

．

點評：本題考查了等差數列的前n項和公式、“裂項求和”方法、數列的周期性；考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．