Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，當n≥2時，a_n+tS_n-1=n．
（Ⅰ）若t=2，求a₂，a₃及S₂₀₁₁；
（Ⅱ）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已條件推導(dǎo)出a₃=a₅=…=a₂₀₁₁=1，a₂=a₄=…=a₂₀₁₀=0，由此能求出S₂₀₁₁=1006．
（Ⅱ）由a_n+tS_n-1=n，得a_n+1+tS_n=n+1．從而a_n+1=（1-t）a_n+1，a₂=2-t．由此能求出{a_n}的通項公式．

解答： 解：（Ⅰ）在a_n+2S_n-1=n中，
取n=2得，a₂+2a₁=2，a₂=0．（2分）
由a_n+2S_n-1=n，得a_n+1+2S_n=n+1．
相減可得a_n+1-a_n+2a_n=1，
即當n≥2時a_n+1+a_n=1．
可見，a₃=a₅=…=a₂₀₁₁=1．（4分）
a₂=a₄=…=a₂₀₁₀=0．
故S₂₀₁₁=1006．（6分）
注：只寫結(jié)果扣1分．
（Ⅱ）由a_n+tS_n-1=n，得a_n+1+tS_n=n+1．
相減可得a_n+1-a_n+ta_n=1，
即當n≥2時a_n+1=（1-t）a_n+1．（9分）
其中，a₂=2-t．
①若t=0，則由a_n+1=a_n+1知第二項之后是公差為1的等差數(shù)列，
但a₁=1，a₂=2，故{a_n}是等差數(shù)列，a_n=n．
②若t=1，則a_n=1．
③若t≠0，t≠1，則由a_n+1=（1-t）a_n+1可得an+1-

1

t

=(1-t)(an-

1

t

)
于是當n≥2時，{an-

1

t

}是一個公比為1-t的等比數(shù)列，（12分）
∴an-

1

t

=(a2-

1

t

)(1-t)n-2，
即an=(2-t-

1

t

)(1-t)n-2+

1

t

（n≥2）．
n=1也適合上式，
故{a_n}的通項公式為an=-

1

t

(1-t)n+

1

t

．（14分）
注：未討論特殊情形的扣1-2分．

點評：本題考查數(shù)列的前2011項的和的求法，考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．