Question

（2011•臨沂一模）已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)n是過原點的直線，l是與n垂直相交于點P，且與曲線C相交于A、B兩點的直線，且|

.

OP

|=1，問：是否存在上述直線l使

.

AP

•

.

PB

=1成立？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y）是曲線C上任意一點，那么點M（x，y）滿足

(x-1)2+y2

-x=1(x＞0)，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．假設(shè)使

AP

•

PB

=1成立的直線l存在．①當(dāng)l不垂直于x軸時，設(shè)l的方程為y=kx+m，由l與n垂直相交于P點且|

OA

|=1．得m²=k²+1．由此能導(dǎo)出存在兩條直線l滿足條件，其方程為：y=

15

15

x-

4 15

15

，y=

15

15

x+

4 15

15

．②當(dāng)l垂直于x軸時，則n為x軸，P點坐標(biāo)為（1，0），A（1，2），B（1，-2符合題意的直線l有兩條：y=

15

15

x-

4 15

15

+y=-

15

15

x+

4 15

15

．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y）是曲線C上任意一點，
那么點M（x，y）滿足

(x-1)2+y2

-x=1(x＞0)，
化簡，得y²=4x（x＞0）．…（3分）
（2）設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
假設(shè)使

AP

•

PB

=1成立的直線l存在．
①當(dāng)l不垂直于x軸時，設(shè)l的方程為y=kx+m，
由l與n垂直相交于P點且|

OA

|=1．
得

|m|

k2+1

=1，即m²=k²+1．①…（4分）
∴

AP

•

PB

=1，|

OP

|=1
∴

OA

•

OB

=(

OP

+

PA

)•(

OP

+

PB

)…（5分）
=

OP2

+

OP

•

PB

+

PA

•

OP

+

PA

•

PB

=1+0+0-1=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0．…（6分）
將y=kx+m代入方程y²=4x，
得k²x²+（2km-4）x+m²=0．…（7分）
∵l與C有兩個交點，
∴k≠0，x1+x2=

4-2km

k2

，x1x2=

m2

k2

．②
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（1+k²）x₁x₂+km （x₁+x₂）+m²=0．③…（8分）
將②代入③得(1+k2)•

m2

k2

+km•

4-2km

k2

+m2=0．
化簡，得m²+4km=0．…（9分）
∵|

OP

|=1，
∴m≠0  ①∴m+4k=0   ④
由①、④得

k= 1 15 m= 4 15

，或

k= 1 15 m=- 4 15

，…（10分）
得存在兩條直線l滿足條件，其方程為：y=

15

15

x-

4 15

15

，y=

15

15

x+

4 15

15

．
②當(dāng)l垂直于x軸時，則n為x軸，P點坐標(biāo)為（1，0），A（1，2），B（1，-2）．
∴

AP

=(0，-2)，

PB

=(0，-2)，
∴

AP

•

PB

=4≠1，
不合題意．
綜上，符合題意的直線l有兩條：y=

15

15

x-

4 15

15

+y=-

15

15

x+

4 15

15

．…（12分）
注：第Ⅱ問設(shè)l的方程為x=ly+m，聯(lián)立y²=4x建立y的一元二次方程更簡單，且不需討論．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是圓錐曲線知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．